Giáo Dục

Cách Tính Diện Tích Elip, Công Thức Tính Thể Tích Hình Trụ Elip

Thể tích là một dạng toán cơ bản trong chương trình Toán THCS cũng như THPT. Vậy thể tích là gì? Các công thức tính thể tích, diện tích elip, tứ diện? Hay những công thức tính thể tích tứ diện trong oxyz?… Trong nội dung của bài viết dưới đây, Bpackingapp.com sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức chi tiết về chủ đề cách tính thể tích, cùng tìm hiểu nhé!

Diện tích là gì?

Diện tích là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai chiều hoặc lamina phẳng, trong mặt phẳng. Diện tích bề mặt là tương tự của diện tích trên bề mặt hai chiều của một vật thể ba chiều. Diện tích có thể được hiểu là lượng vật liệu có độ dày nhất định sẽ cần thiết để tạo kiểu cho mô hình hình dạng hoặc lượng sơn cần thiết để phủ lên bề mặt bằng một lớp sơn. Nó là tương tự về mặt hai chiều đối với chiều dài của đường cong (khái niệm một chiều) hoặc thể tích của vật rắn (khái niệm ba chiều).

Cách tính diện tích hình elip

Hình elip
Trong toán hình, thì công thức tính diện tích Elip được áp dụng và hầu như các bạn thường gặp rất nhiều trong quá trình làm bài tập phải không nào? Nếu bạn đang tìm hiểu về vấn đề này thì hãy cùng Bpackingapp.com xem công thức tính diện tích Elip nhé.
cong thuc tinh dien tich elip
Gặp và sử dụng nhiều, tuy nhiên vì một lý do nào đó mà các bạn lỡ quên mất thì có thể tham khảo ngay trong bài viết này nhé.
Ta có hình trên:
– A1; A2; B1; B2 là các đỉnh của hình elip (E)
– 2a là độ dài trục lớn B1B2
– 2b là độ dài trục nhỏ B1B2
– 2c = F1F2 là tiêu cự của (E)
Công thức tính diện tích hình Elip: S = π.a.b
π là hằng số toán học có giá trị ππ = 3.14159265359
Với công thức trên, các bạn có thể lưu lại để áp dụng khi cần làm bài tập nhé.

Định nghĩa thể tích là gì?

Thể tích của một vật theo định nghĩa chính là lượng không gian mà một vật đó chiếm. Đơn vị của thể tích là ( m^3 ) (lập phương của khoảng cách).

Cách tính thể tích hình chóp

Cách tính thể tích khối chóp

Công thức tính thể tích hình chóp : (V= frac{1}{3}.S.h)

Trong đó ( S ) chính là diện tích mặt đáy, còn ( h ) là chiều cao từ đỉnh đến mặt đáy hình chóp.

Từ công thức trên, tùy vào hình dạng đáy của hình chóp mà ta có các công thức khác nhau.

Thể tích hình chóp tam giác*

Công thức tính thể tích hình chóp tam giác

(V= frac{1}{3}.frac{a.b}{2}.h)

Trong đó ( a,b ) lần lượt là độ dài cạnh đáy và đường cao của tam giác đáy

Thể tích hình chóp thang*

Công thức tính thể tích hình chóp thang

(V= frac{1}{3}.frac{(a+b)c}{2}.h)

Trong đó ( a,b ) là độ dài hai đáy hình thang, ( c ) là chiều cao của hình thang.

Thể tích hình chóp chữ nhật*

Công thức tính thể tích hình chóp chữ nhật

(V= frac{1}{3}.a.b.h)

Trong đó ( a,b ) là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.

Ví dụ:

Tính thể tích hình chóp ( S.ABC ) biết rằng hình chóp có độ dài tất cả cách cạnh đều là ( a )

Cách giải:

*

Lấy ( M ) là trung điểm ( BC )

Do ( Delta ABC có AB=BC=CA =a ) nên (Rightarrow Delta ABC) đều.

Lấy ( O ) là tâm tam giác (Rightarrow SO bot (ABC)) và ( O in AM ) sao cho ( AO = 2 MO )

Theo định lý Pitago, ta có:

(AM = sqrt{AB^2-BM^2}=frac{asqrt{3}}{2})

Do ( Delta ABC ) đều nên ( AM ) vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác

(Rightarrow S_{Delta ABC}=frac{1}{2}.a.frac{asqrt{3}}{2}=frac{a^2sqrt{3}}{4})

Mặt khác : (AO =frac{2}{3}AM=frac{a}{sqrt{3}})

(Rightarrow SO =sqrt{SA^2-AO^2}=frac{asqrt{2}}{sqrt{3}})

Như vậy ta có: (V_{S.ABC}=frac{1}{3}.frac{a^2sqrt{3}}{4}.frac{asqrt{2}}{sqrt{3}}=frac{a^3}{6sqrt{2}})

***Chú ý: Ta có công thức tính độ dài đường cao của tam giác đều cạnh ( a )

Đường cao (=frac{sqrt{3}a}{2})

Từ đó (Rightarrow) diện tích tam giác đều cạnh ( a ) là : (frac{sqrt{3}a^2}{4})

Cách tính thể tích hình chóp cụt

*

Công thức tính thể tích hình chóp cụt

Hình chóp cụt là phần chóp nằm giữa đáy và thiết dện cắt bởi mặt phẳng song song với đáy hình chóp

Xem thêm :  Hàm Chia Trong Excel - Chia Lấy Phần Nguyên

Thể tích hình chóp cụt: (V=frac{1}{3}.h.(S_1+S_2+sqrt{S_1.S_2}))

Trong đó ( h ) là khoảng cách giữa hai mặt đáy còn ( S_1,S_2 ) lần lượt là diện tích hai mặt đáy.

Ví dụ:

Cho hình chóp cụt ( ABC.A’B’C’ ) có ABC là tam giác đều cạnh bằng ( a ) và ( A’B’C’ ) là tam giác đều cạnh bằng ( 2a ). Biết khoảng cách hai đáy là ( a ) , tính thể tích khối chóp cụt.

Cách giải:

*

Ví dụ minh họa công thức tính thể tính hình chóp cụt

Vì hai đáy của hình chóp cụt là tam giác đều nên ta có :

(S_{ABC}=frac{1}{2}.a.frac{asqrt{3}}{2}=frac{a^2sqrt{3}}{4})

(S_{A’B’C’}=frac{1}{2}.2a.frac{2asqrt{3}}{2}=a^2sqrt{3})

Thay vào công thức trên ta được:

(V=frac{1}{3}.a.(frac{a^2sqrt{3}}{4}+a^2sqrt{3}+sqrt{frac{a^2sqrt{3}}{4}.a^2sqrt{3}} ;; )=frac{7a^3}{4sqrt{3}})

Cách tính thể tích hình nón

Hình nón là một dạng đặc biệt của hình chóp với đáy là hình tròn. Do đó công thức tính thể tích hình nón vẫn tương tự như công thức tính thể tích hình tròn, cụ thể như sau:

*

Công thức tính thể tính hình nón

Thể tích hình nón : (V= frac{1}{3}.pi R^2.h)

Trong đó ( R ) là bán kính đáy, ( h ) là chiều cao của hình chóp

Thể tích hình nón cụt : (V=frac{1}{3}.pi .h.(R_1^2+R_2^2+R_1R_2))

Trong đó ( h ) là khoảng cách giữa hai mặt đáy còn ( R_1;R_2 ) lần lượt là bán kính hai đáy

Ví dụ:

Cho hình nón có độ dài đường sinh là ( 2a ) và bán kính đáy là ( a ). Tính thể tích khối nón?.

Cách giải:

*

Ví dụ minh họa cách tính thể tích hình nón

Gọi ( O ) là đỉnh nón, ( H ) là tâm đường tròn đáy và ( A ) là một điểm nằm trên đường tròn đáy

Ta có:

( OA = 2a ; HA =R= a )

(Rightarrow OH =sqrt{OA^2-HA^2}=sqrt{4a^2-a^2}=asqrt{3})

Vậy thể tích hình nón là : (V = frac{1}{3}.pi.a^2.asqrt{3}=frac{pi a^3}{sqrt{3}})

Cách tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ: (V = S.h)

Trong đó:

( V ) là thể tích hình trụ.( S ) là diện tích đáy.( h ) là chiều cao của hình trụ.

( V ) là thể tích hình trụ.( S ) là diện tích đáy.( h ) là chiều cao của hình trụ.

Tùy vào hình dạng đáy mà ta chia hình trụ làm hai loại: Hình trụ tròn và hình lăng trụ.

Xem thêm: Đậu Tằm Mua Ở Đâu – Hạt Đậu Tằm Úc( Đậu Răng Ngựa

Cách tính thể tích hình trụ tròn

*

Công thức tính thể tích hình trụ tròn

Hình trụ tròn là hình có hai mặt đáy là hai hình tròn song song với nhau và bằng nhau.

Công thức tính thể tích hình trụ rỗng ( hình trụ tròn) : (V = pi R^2.h)

Trong đó ( R ) là bán kính đáy và ( h ) là chiều cao hình trụ.

Công thức tính thể tích bồn dầu nằm ngang

Đây là dạng bài toán thực tế rất hay gặp trong các đề thi. Bài toán tổng quát như sau:

Ví dụ: 

Cho một bồn dầu hình trụ có bán kính đáy ( R ) chiều cao ( k ) đặt nằm ngang trên mặt đất. Đổ dầu vào bồn sao cho mực dầu trong bồn cách nắp bình ( ở mặt nằm ngang phía trên bồn ) khoảng cách là ( h ). Tính lượng dầu đã có trong bình?.

*

Công thức tính thể tích bồn dầu nằm ngang

Cách giải:

Như ta đã biết, thể tích hình trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Do đó để tính thể tích phần dầu có trong bình thì ta phải tính được diện tích mặt đáy của bình bị dầu chiếm ( phần diện tích tô màu xanh), kí hiệu là ( S_1 )

Ta có:

(S_1= (S_{(O)}-S_{stackrelfrown{AB}})+S_{Delta AOB}= pi R^2 (1- frac{cos^{-1}frac{R-h}{R}}{pi})+ (R-h)sqrt{2Rh-h^2})

Vậy thể tích dầu chứa trong bình là:

(V= (pi R^2 (1- frac{cos^{-1}frac{R-h}{R}}{pi})+ (R-h)sqrt{2Rh-h^2}).k)

Ví dụ:

Một bồn hình trụ đang chứa dầu có chiều dài ( 5m ) bán kính đáy ( 1m ) được đặt trên mặt phẳng nằm ngang, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn, phần dầu còn lại có độ cao ( 1.5m ) (tính từ đáy bể đến mặt dầu). Tính thể tích của phần dầu đã rút ra (giả thiết độ dày thành bồn không đáng kể)

Cách giải:

*

Ví dụ minh họa công thức tính thể tích bồn dầu nằm ngang

Áp dụng vào công thức với ( R=1m , h=0.5m ) ta được :

(S_{stackrelfrown{AMB}}=S_{stackrelfrown{AB}}-S_{Delta AOB}=pi R^2.frac{cos^{-1}frac{R-h}{R}}{pi}+ (R-h)sqrt{2Rh-h^2} = frac{pi}{3}-frac{sqrt{3}}{4}) ( ( m^2 ) )

Vậy thể tích phần dầu đã rút ra là :

(V= 5.(frac{pi}{3}-frac{sqrt{3}}{4})) (( m^3 ) )

Xem thêm :  CuO + NH3 [CuO NH3 observation]

Công thức tính thể tích lăng trụ

Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác song song và bằng nhau, các cạnh bên song song và bằng nhau.

*

Công thức tính thể tích lăng trụ

Thể tích hình lăng trụ: (V = S.h)

Trong đó ( S ) là diện tích đáy , ( h ) là chiều cao hình trụ.

Một số hình lăng trụ đặc biệt:

Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật và các cạnh bên vuông góc với đáy.

Thể tích hình hộp chữ nhật: ( V = a.b.h )

*

Công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật

Trong đó ( a,b ) lần lượt là chiều dài, chiều rộng của đáy, ( h ) là chiều cao của hình hộp

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau

Công thức thể tích khối lập phương: ( V = a^3 )

*

Công thức thể tích khối lập phương

Trong đó ( a ) là độ dài cạnh của hình lập phương

Ví dụ:

Cho lăng trụ xiên ( ABC.A’B’C’ ) có đáy là tam giác đều cạnh ( a ). Biết cạnh bên có độ dài bằng (asqrt{3}) và tạo với đáy một góc (60^{circ}). Tính thể tích hình lăng trụ.

Cách giải:

*

Tìm hiểu ví dụ minh họa điển hình

Gọi ( H ) là hình chiếu của ( C’ ) lên ( (ABC) )

Khi đó ( CH ) chính là đường cao của hình lăng trụ.

(CH = CC’.sin 60^{circ}=frac{3a}{2})

(S_{ABC}=frac{1}{2}.a.frac{asqrt{3}}{2}=frac{a^2sqrt{3}}{4})

Vậy thể tích hình lăng trụ ( ABC.A’B’C’ ) là:

(V= S_{ABC}.CH =frac{a^2sqrt{3}}{4}.frac{3a}{2}=frac{3sqrt{3}a^3}{8})

Cách tính thể tích hình cầu

Cách tính thể tích khối cầu

*

Công thức tính thể tích hình cầu

(V= frac{4}{3}pi R^3)

Trong đó ( R ) là bán kính hình cầu

Cách tính thể tích hình quạt cầu

*

Công thức tính thể tích hình quạt cầu

Hình quạt cầu là một phần của hình cầu xác định bởi mặt biên của một hình nón có đỉnh nằm tại tâm của hình cầu

Thể tích hình quạt cầu : (V= frac{2}{3}pi R^2.h)

Trong đó ( R ) là bán kính hình cầu , ( h ) là chiều cao của chỏm cầu

Ví dụ:

Cho hình lập phương ( ABCD.A’B’C’D’ ) có độ dài cạnh bằng ( a ). Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình lập phương đó

Cách giải:

*

Tìm hiểu cách tính thể tích hình quạt cầu

Tâm của hình cầu là điểm ( O ) trung điểm mỗi đường chéo của hình lập phương

Ta có:

(AC = sqrt{AB^2+BC^2}=asqrt{2})

(R=frac{AC’}{2}=frac{sqrt{AC^2+CC’^2}}{2}=frac{asqrt{3}}{2})

Vậy thể tích hình cầu ngoại tiếp lập phương ( ABCD.A’B’C’D’ ) là :

(V=frac{4}{3}pi. R^3=frac{4}{3}pi.frac{3sqrt{3}a^3}{8}=frac{pi sqrt{3}a^3}{2})

Các công thức tính thể tích tứ diện trong Oxyz

*

Các công thức tính thể tích tứ diện trong Oxyz

Tổng quát : Cho tứ diện ( ABCD ) có độ dài các cạnh ( BC=a , CA=b, AB=c , AD=d, BD=e , CD = f ). Khi đó thể tích tứ diện ( ABCD ) được tính như sau:

(V=frac{1}{12}.sqrt{M+N+P-Q})

Trong đó:

(M=a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2))

(N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2))

(P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2))

(Q=(abc)^2+(cde)^2+(efa)^2+(bdf)^2)

Tùy vào từng dạng của tứ diện mà ta áp vào công thức trên sẽ có những cách tính khác nhau:

Khối tứ diện đều có cạnh bằng ( a )

Khối tứ diện đều có cạnh bằng ( a )

(V=frac{a^3sqrt{2}}{12})

Khối tứ diện vuông: ( AB,AC,AD ) đôi một vuông góc

Khối tứ diện vuông: ( AB,AC,AD ) đôi một vuông góc

(V=frac{AB.AC.AD}{6})

Khối tứ diện gần đều: Có các cặp cạnh đối bằng nhau : (left{begin{matrix} AB=CD=a\BC=DA=b \ CA=BD=c end{matrix}right.)

Khối tứ diện gần đều: Có các cặp cạnh đối bằng nhau : (left{begin{matrix} AB=CD=a\BC=DA=b \ CA=BD=c end{matrix}right.)

(V=frac{sqrt{2}}{12}.sqrt{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)})

Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa hai cạnh đối diện : (left{begin{matrix} AB=a \ CD=b \ d(AB,CD)=d\ (AB,CD)= alpha end{matrix}right.)

Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa hai cạnh đối diện : (left{begin{matrix} AB=a \ CD=b \ d(AB,CD)=d\ (AB,CD)= alpha end{matrix}right.)

(V=frac{a.b.d.sin alpha}{6})

Khối tứ diện biết hai mặt kề nhau : (left{begin{matrix} S_{ABC}=S_1\ S_{ABD}=S_2 \ AB=a \ ((ABD),(ABC))=alpha end{matrix}right.)

Khối tứ diện biết hai mặt kề nhau : (left{begin{matrix} S_{ABC}=S_1\ S_{ABD}=S_2 \ AB=a \ ((ABD),(ABC))=alpha end{matrix}right.)

(V=frac{2.S_1.S_2.sin alpha}{3a})

Khối tứ diện biết các góc ở một đỉnh : (left{begin{matrix} AB=a\AC=b \ AD=c end{matrix}right.) và (left{begin{matrix} widehat{BAC}=alpha \ widehat{CAD}=beta \widehat{DAB}=gamma end{matrix}right.)

Khối tứ diện biết các góc ở một đỉnh : (left{begin{matrix} AB=a\AC=b \ AD=c end{matrix}right.) và (left{begin{matrix} widehat{BAC}=alpha \ widehat{CAD}=beta \widehat{DAB}=gamma end{matrix}right.)

(V=frac{abc}{6}.sqrt{1+2cos alpha . cos beta . cos gamma -cos^2alpha-cos^2beta -cos^2 gamma})

Ví dụ:

Cho khối tứ diện ( ABCD ) có các cặp cạnh đối diện bằng nhau : (left{begin{matrix} AB=CD=8\BC=DA=5 \ CA=BD=7 end{matrix}right.)

Tính thể tích khối tứ diện?.

Cách giải:

Áp dụng công thức bên trên, ta có :

Xem thêm :  PHONG CÁCH NGÔN NGỮ NGHỆ THUẬT TRONG CHÙM THƠ THU CỦA NGUYỄN KHUYẾN

(V=frac{sqrt{2}}{12}.sqrt{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)})

(=frac{sqrt{2}}{12}.sqrt{(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)})

(=frac{20sqrt{11}}{3}) đơn vị thể tích.

Công thức thể tích khối tròn xoay

Khối tròn xoay quanh trục hoành

*

Công thức thể tích khối tròn xoay

Cho hình ( (H) ) là vật thể khối tròn xoay tạo bởi giới hạn bởi đồ thị của các hàm số ( y=f(x) , y=g(x) , x=a, x=b ) quay quanh trục ( Ox )

(V_{(H)} = pi. |int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx|)

Khối tròn xoay quanh trục tung 

*

Tìm hiểu công thức thể tích khối tròn xoay quanh trục tung

Cho hình ( (H) ) là vật thể khối tròn xoay tạo bởi giới hạn bởi đồ thị của các hàm số ( x=f(y) , x=g(y) , y=a, y=b ) quay quanh trục ( Ox )

(V_{(H)} = pi. |int_{a}^{b}(f^2(y)-g^2(y))dx|)

Trong hầu hết các bài toán thì hai đường thẳng ( x=a;x=b ) hoặc ( y=a;y=b ) được tìm bằng cách giải phương trình ( f(x)=g(x) ) hoặc ( f(y)=g(y) )

Mở rộng:

*

Ví dụ minh họa công thức thể tích khối tròn xoay

Cho hình ( (H) ) là vật thể khối tròn xoay tạo bởi giới hạn bởi đồ thị của các hàm số ( y=f(x) , y=g(x) , y= h(x) ) quay quanh trục ( Ox )

(V_{(H)} =pi. |int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx|+ pi. |int_{b}^{c}(g^2(x)-h^2(x))dx|)

Trong đó ( a,b,c ) lần lượt là nghiệm của các phương trình: (left{begin{matrix} f(x)=g(x)\ g(x)=h(x) \ h(x)=f(x) end{matrix}right.)

Công thức tính thể tích khối tròn xoay elip

*

Công thức tính thể tích khối tròn xoay elip

Cho hình ( (H) ) là vật thể tạo bởi Elip có độ dài đáy lớn ( 2a ), đáy bé ( 2b ), tâm ( I ) cách ( O ) một đoạn ( h ) quay xung quanh ( Ox ). Khi đó thể tích hình ( (H) ) được tính theo công thức:

(V_H = 2pi^2.abh)

Trường hợp đặc biệt:

Hình tròn là một hình Elip đặc biệt có ( a=b=R ) nên thể tích khối khi quay hình tròn bán kính ( R ) quanh trục ( Ox ) là:

( V=2 pi^2 R^2.h )

Tổng quát: Thể tích khối khi quay một hình bất kì có tâm đối xứng và có diện tích ( S ) quanh trục ( Ox ) là:

( V= 2pi .h.S )

Ví dụ:

Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ( y=x ) và (y= sqrt{x}) quay quanh trục ( Ox ) tạo thành hình khối ( H ). Tính thể tích ( H )

Cách giải:

Giải phương trình : (x= sqrt{x} Leftrightarrow x=0) hoặc ( x=1 )

Vậy khối tròn xoay được tạo bởi giới hạn đồ thị ( y=x ,y= sqrt{x}) và ( x=0;x=1 )

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay ta được :

(V_H = pi.|int_{0}^{1}(x^2-x)dx | =frac{pi}{6})

Tổng kết chung về cách tính thể tích

Để tính thể tích hình trụ, hình nón, hình chóp thì ta cần tính được diện tích đáy và chiều cao của nó.Để tích thể tích hình cầu, ta cần tính được bán kính ( R ) của nó. Để tính thể tích tứ diện trong (Oxy) ta có thể áp dụng công thức tính thể tích hình chóp hoặc tính toán được một vài giá trị độ dài cạnh hoặc góc ở đỉnh rồi áp dụng công thức. Để tính thể tích khối tròn xoay, ta tính giá trị nghiệm của hai hàm số rồi sử dụng công thức tích phân. Để tính thể tích khối tròn xoay Elip, ta cần tính được diện tích của Elip hay tính được độ dài hai trục của Elip.

Để tính thể tích hình trụ, hình nón, hình chóp thì ta cần tính được diện tích đáy và chiều cao của nó. Để tích thể tích hình cầu, ta cần tính được bán kính (R) của nó. Để tính thể tích tứ diện trong (Oxy) ta có thể áp dụng công thức tính thể tích hình chóp hoặc tính toán được một vài giá trị độ dài cạnh hoặc góc ở đỉnh rồi áp dụng công thức. Để tính thể tích khối tròn xoay, ta tính giá trị nghiệm của hai hàm số rồi sử dụng công thức tích phân. Để tính thể tích khối tròn xoay Elip, ta cần tính được diện tích của Elip hay tính được độ dài hai trục của Elip.

Bài viết trên đây của Bpackingapp.com đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các công thức tính thể tích, diện tích. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề cách tính thể tích. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Giáo Dục

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button